Період напіврозпаду

1. Приклад 1 [ правити | правити код ]
2. Приклад 2 [ правити | правити код ]

Період напіврозпаду квантовомеханічною системи (частки, ядра, атома, енергетичного рівня і т. Д.) - час T 1/2 {\ displaystyle T_ {1/2}} , Протягом якого система розпадається в зразковому щодо 1/2. якщо розглядається ансамбль незалежних частинок, то протягом одного періоду напіврозпаду кількість тих, що вижили частинок зменшиться в середньому в 2 рази. Термін застосовується лише до експоненціально розпадаються системам.

Не слід вважати, що за два періоди напіврозпаду розпадуться всі частинки, взяті в початковий момент. Оскільки кожен період напіврозпаду зменшує число тих, що вижили частинок вдвічі, за час 2 T 1/2 {\ displaystyle 2T_ {1/2}} залишиться чверть від початкового числа частинок, за 3 T 1/2 {\ displaystyle 3T_ {1/2}} - одна восьма і т. Д. Взагалі, частка тих, хто вижив частинок (або, точніше, вірогідність виживання p {\ displaystyle p} для даної частинки) залежить від часу t {\ displaystyle t} наступним чином:

N (t) N 0 ≈ p (t) = 2 - t / T 1/2. {\ Displaystyle {\ frac {N (t)} {N_ {0}}} \ approx p (t) = 2 ^ {- t / T_ {1/2}}.}

Період напіврозпаду, середнє час життя τ {\ displaystyle \ tau} і постійна розпаду λ {\ displaystyle \ lambda} зв'язані наступними співвідношеннями, отриманими з закону радіоактивного розпаду :

T 1/2 = τ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 λ. {\ Displaystyle T_ {1/2} = \ tau \ ln 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}.}

Оскільки ln ⁡ 2 = 0, 693 ... {\ displaystyle \ ln 2 = 0,693 \ dots} , Період напіврозпаду приблизно на 30,7% коротше, ніж середній час життя.

На практиці період напіврозпаду визначають, вимірюючи активність досліджуваного препарату через певні проміжки часу. З огляду на, що активність препарату пропорційна кількості атомів розпадається речовини, і скориставшись законом радіоактивного розпаду , Можна обчислити період напіврозпаду даного речовини [1] .

Приклад 1 [ правити | правити код ]

Якщо позначити для даного моменту часу число ядер, здатних до радіоактивного перетворення, через N {\ displaystyle N} , А проміжок часу через t 2 - t 1 {\ displaystyle t_ {2} -t_ {1}} , Де t 1 {\ displaystyle t_ {1}} і t 2 {\ displaystyle t_ {2}} - досить близькі моменти часу (t 1 <t 2) {\ displaystyle (t_ {1} <t_ {2})} , І число розкладаються атомних ядер в цей відрізок часу через n {\ displaystyle n} , То n = K N (t 2 - t 1) {\ displaystyle n = KN (t_ {2} -t_ {1})} , Де коефіцієнт пропорційності K = 0, 693 T 1/2 {\ displaystyle K = {0,693 \ over T_ {1/2}}} носить назву константи розпаду. Якщо прийняти різницю (t 2 - t 1 {\ displaystyle t_ {2} -t_ {1}} ) Дорівнює одиниці, тобто інтервал часу спостереження, що дорівнює одиниці, то K = n / N {\ displaystyle K = n / N} і, отже, константа розпаду показує частку від наявного числа атомних ядер, що зазнають розпад в одиницю часу. Отже, розпад відбувається так, що в одиницю часу розпадається одна і та ж частка від наявного числа атомних ядер, що визначає закон експоненціального розпаду.

Величини періодів напіврозпаду для різних ізотопів різні; для деяких, особливо швидко розпадаються, період напіврозпаду може бути рівним мільйонним часткам секунди, а для деяких ізотопів, як уран-238 і торій-232 , Він відповідно дорівнює 4,498⋅109 і 1,389⋅1010 років. Легко підрахувати число атомів урану-238, що зазнають перетворення в даній кількості урану, наприклад, в одному кілограмі протягом однієї секунди. Кількість будь-якого елементу в грамах, чисельно рівне атомній вазі, містить, як відомо, 6,02⋅1023 атомів. Тому згідно наведеної вище формулою n = K N (t 2 - t 1) {\ displaystyle n = KN (t_ {2} -t_ {1})} знайдемо число атомів урану, що розпадаються в одному кілограмі в одну секунду, маючи на увазі, що в році 365 * 24 * 60 * 60 секунд,

0, 693 4, 498 ⋅ 10 9 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 6, 02 ⋅ 10 23 238 ⋅ 1000 = 12 ⋅ 10 6. {\ Displaystyle {\ frac {0,693} {4,498 \ cdot 10 ^ {9} \ cdot 365 \ cdot 24 \ cdot 60 \ cdot 60}} {\ frac {6,02 \ cdot 10 ^ {23}} {238} } \ cdot 1000 = 12 \ cdot 10 ^ {6}.}

Обчислення приводять до того, що в одному кілограмі урану протягом однієї секунди розпадається дванадцять мільйонів атомів. Незважаючи на таку величезну кількість, все ж швидкість перетворення дуже мала. Дійсно, в секунду розпадається наступна частина урану:

12 ⋅ 10 6 ⋅ 238 6, 02 ⋅ 10 23 ⋅ 1000 = 47 ⋅ 10 - 19. {\ Displaystyle {\ frac {12 \ cdot 10 ^ {6} \ cdot 238} {6,02 \ cdot 10 ^ {23} \ cdot тисяча}} = 47 \ cdot 10 ^ {- 19}.}

Таким чином, з наявної кількості урану в одну секунду розпадається його частка, рівна

47 10000000000000000000. {\ displaystyle 47 \ over 10000000000000000000.}

Звертаючись знову до основного закону радіоактивного розпаду KN (t 2 - t 1), тобто до того факту, що з наявного числа атомних ядер в одиницю часу розпадається всього одна і та ж їх частка і, маючи до того ж з огляду на повну незалежність атомних ядер в будь-якому речовині один від одного, можна сказати, що цей закон є статистичним в тому сенсі, що він не вказує які саме атомні ядра піддадуться розпаду в даний відрізок часу, а лише говорить про їх числі. Безсумнівно, цей закон зберігає силу лише для того випадку, коли наявне число ядер дуже велике. Деякі з атомних ядер розпадуться в найближчий момент, в той час як інші ядра будуть зазнавати перетворення значно пізніше, тому коли наявне число радіоактивних атомних ядер порівняно невелика, закон радіоактивного розпаду може і не виконуватися в усій суворості.

Приклад 2 [ правити | правити код ]

Зразок містить 10 г ізотопу плутонію Pu-239 з періодом напіврозпаду 24 400 років. Скільки атомів плутонію розпадається щомиті?

N (t) = N 0 ⋅ 2 - t / T 1/2. {\ Displaystyle N (t) = N_ {0} \ cdot 2 ^ {- t / T_ {1/2}}.} d N d t = - N 0 ln ⁡ 2 T 1/2 ⋅ 2 - t / T 1/2 = - N ln ⁡ 2 T 1/2. {\ Displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = - {\ frac {N_ {0} \ ln 2} {T_ {1/2}}} \ cdot 2 ^ {- t / T_ {1/2} } = - {\ frac {N \ ln 2} {T_ {1/2}}}.} N = m μ N A = 10 239 ⋅ 6 ⋅ 10 23 = 2.5 ⋅ 10 22. {\ Displaystyle N = {\ frac {m} {\ mu}} N_ {A} = {\ frac {10} {239}} \ cdot 6 \ cdot 10 ^ {23} = 2.5 \ cdot 10 ^ {22} .} T 1/2 = 24400 ⋅ 365.24 ⋅ 24 ⋅ 3600 = 7.7 ⋅ 10 11 s. {\ Displaystyle T_ {1/2} = 24400 \ cdot 365.24 \ cdot 24 \ cdot 3600 = 7.7 \ cdot 10 ^ {11} s.} d N d t = N ln ⁡ 2 T 1/2 = 2.5 ⋅ 10 22 ⋅ 0.693 7.7 ⋅ 10 11 = 2.25 ⋅ 10 10 s - 1. {\ Displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = {\ frac {N \ ln 2} {T_ {1/2}}} = {\ frac {2.5 \ cdot 10 ^ {22} \ cdot 0.693} { 7.7 \ cdot 10 ^ {11}}} = 2.25 \ cdot 10 ^ {10} ~ s ^ {- 1}.}

Ми вирахували миттєву швидкість розпаду. Кількість розпалися атомів обчислимо за формулою

Δ N = Δ t ⋅ d N d t = 1 ⋅ 2.25 ⋅ 10 10 = 2.25 ⋅ 10 10. {\ Displaystyle \ Delta N = \ Delta t \ cdot {\ frac {dN} {dt}} = 1 \ cdot 2.25 \ cdot 10 ^ {10} = 2.25 \ cdot 10 ^ {10}.}

Остання формула дійсна тільки тоді, коли розглянутий період часу (в даному випадку - 1 секунда) значно менше, ніж період напіврозпаду. Коли розглянутий період часу можна порівняти з періодом напіврозпаду, слід користуватися формулою

Δ N = N 0 - N (t) = N 0 (1 - 2 - t / T 1/2). {\ Displaystyle \ Delta N = N_ {0} -N (t) = N_ {0} \ left (1-2 ^ {- t / T_ {1/2}} \ right).}

Ця формула придатна в будь-якому випадку, однак для малих періодів часу вимагає обчислень з дуже великою точністю. Для даної задачі:

Δ N = N 0 (1 - 2 - t / T 1/2) = 2.5 ⋅ 10 22 (1 - 2 - 1 / 7.7 ⋅ 10 11) = 2.5 ⋅ 10 22 (1 - 0.99999999999910) = 2.25 ⋅ 10 10. {\ Displaystyle \ Delta N = N_ {0} \ left (1-2 ^ {- t / T_ {1/2}} \ right) = 2.5 \ cdot 10 ^ {22} \ left (1-2 ^ {- 1 / 7.7 \ cdot 10 ^ {11}} \ right) = 2.5 \ cdot 10 ^ {22} \ left (1-0.99999999999910 \ right) = 2.25 \ cdot 10 ^ {10}.}

Якщо система з періодом напіврозпаду T 1/2 {\ displaystyle T_ {1/2}} може розпадатися по декількох каналах, для кожного з них можна визначити парціальний період напіврозпаду. Нехай ймовірність розпаду по i -му каналу ( коефіцієнт розгалуження ) Дорівнює p i {\ displaystyle p_ {i}} . Тоді парціальний період напіврозпаду по i -му каналу дорівнює

T 1/2 (i) = T 1/2 p i. {\ Displaystyle T_ {1/2} ^ {(i)} = {\ frac {T_ {1/2}} {p_ {i}}}.}

Парціальний T 1/2 (i) {\ displaystyle T_ {1/2} ^ {(i)}} має сенс періоду напіврозпаду, який був би у даної системи, якщо «вимкнути» всі канали розпаду, крім i-го. Тому що по визначенню p i ≤ 1 {\ displaystyle p_ {i} \ leq 1} , То T 1/2 (i) ≥ T 1/2 {\ displaystyle T_ {1/2} ^ {(i)} \ geq T_ {1/2}} для будь-якого каналу розпаду.

У всіх спостерігалися випадках (крім деяких ізотопів, що розпадаються шляхом електронного захоплення ) Період напіврозпаду був постійним (окремі повідомлення про зміну періоду були викликані недостатньою точністю експерименту, зокрема, неповної очищенням від високоактивних ізотопів ). У зв'язку з цим період напіврозпаду вважається незмінним. На цій підставі будується визначення абсолютного геологічного віку гірських порід, а також радіовуглецевий метод визначення віку біологічних останків.

Припущення про змінюваність періоду напіврозпаду використовується креационистами , А також представниками т. Зв. « альтернативної науки »Для спростування наукової датування гірських порід, залишків живих істот і історичних знахідок, з метою подальшого спростування наукових теорій, побудованих з використанням такого датування. (Див., Наприклад, статті креаціонізм , науковий креаціонізм , критика еволюціонізму , Туринська плащаниця ).

Варіабельність постійної розпаду для електронного захоплення спостерігалася в експерименті, але вона лежить в межах відсотка у всьому доступному в лабораторії діапазоні тисків і температур. Період напіврозпаду в цьому випадку змінюється в зв'язку з деякою (досить слабкою) залежністю щільності хвильової функції орбітальних електронів в околиці ядра від тиску і температури. Істотні зміни постійної розпаду спостерігалися також для сильно іонізованих атомів (так, в граничному випадку повністю іонізованого ядра електронний захоплення може відбуватися тільки при взаємодії ядра з вільними електронами плазми; крім того, розпад, дозволений для нейтральних атомів, в деяких випадках для сильно іонізованих атомів може бути заборонений кинематически). Всі ці варіанти зміни постійних розпаду, очевидно, не можуть бути притягнуті для «спростування» радіохронологіческіх датувань, оскільки похибка самого радіохронометріческого методу для більшості ізотопів-хронометрів складає більше відсотка, а високоіонізованная атоми в природних об'єктах на Землі не можуть існувати скільки-небудь тривалий час .

Пошук можливих варіацій періодів напіврозпаду радіоактивних ізотопів, як в даний час, так і протягом мільярдів років, цікавий в зв'язку з гіпотезою про варіаціях значень фундаментальних констант у фізиці ( постійної тонкої структури , константи Фермі і т.д.). Однак ретельні вимірювання поки не принесли результату - в межах похибки експерименту зміни періодів напіврозпаду не були знайдені. Так, було показано, що за 4,6 млрд років константа α-розпаду самарію-147 змінилася не більше ніж на 0,75%, а для β-розпаду ренію-187 зміна за цей же час не перевищує 0,5% [2] ; в обох випадках результати сумісні з відсутністю таких змін взагалі.

1. ↑ Фіалков Ю. Я. Застосування ізотопів в хімії та хімічній промисловості. - К.: Техніка, 1975. - С. 52. - 240 с. - 2000 екз.
2. ↑ Jean-Philippe Uzan. The fundamental constants and their variation: observational status and theoretical motivations. Rev.Mod.Phys. 75 (2003) 403. arXiv: hep-ph / 0205340 .