геометрія Рімана

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

геометрія Рімана (звана також еліптична геометрія) - одна з неевклідових геометрій постійної кривизни (Інші - це геометрія Лобачевського і сферична геометрія ). Якщо геометрія Евкліда реалізується в просторі з нульовою гаусом кривизною , Лобачевського - з негативною, то геометрія Рімана реалізується в просторі з постійною позитивною кривизною (в двовимірному випадку - на проективної площині і локально на сфері ).

В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина - трьома, дві площини перетинаються по прямій і т. Д., Але в геометрії Рімана немає паралельних прямих. В геометрії Рімана, як і в сферичної геометрії, справедливим є твердження: сума кутів трикутника більше двох прямих, має місце формула Σ = π + S / R 2, {\ displaystyle \ Sigma = \ pi + {S} / {R ^ {2 }}} де Σ {\ displaystyle \ Sigma} - сума кутів трикутника, R {\ displaystyle R} - радіус сфери, на якій реалізована геометрія.

Двовимірна геометрія Рімана схожа на сферичну геометрію , Але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як в сферичної, а тільки одну точку перетину. При ототожненні протилежних точок сфери виходить проективна площину , Геометрія якої задовольняє аксіомам геометрії Рімана.

Саме, розглянемо сферу S {\ displaystyle S} з центром в точці O {\ displaystyle O} в тривимірному просторі E {\ displaystyle E} . Кожна точка A ∈ S {\ displaystyle A \ in S} разом з центром сфери O {\ displaystyle O} визначає деяку пряму l ⊂ E {\ displaystyle l \ subset E} , Т. Е. Деяку точку A * {\ displaystyle A _ {*}} проективної площині Π {\ displaystyle \ Pi} . Зіставлення A → A * {\ displaystyle A \ to A _ {*}} визначає відображення S → Π {\ displaystyle S \ to \ Pi} , Великі кола на S {\ displaystyle S} (Прямі в сферичної геометрії) переходять в прямі на проективної площині Π {\ displaystyle \ Pi} , При цьому в одну точку A * ∈ Π {\ displaystyle A _ {*} \ in \ Pi} переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою A ∈ S {\ displaystyle A \ in S} і діаметрально протилежна їй точка A '∈ S {\ displaystyle A' \ in S} (Див. Рисунок). Евклідові руху простору E {\ displaystyle E} , Що переводять сферу S {\ displaystyle S} в себе, задають деякі певні перетворення проективної площині Π {\ displaystyle \ Pi} , Які є рухами геометрії Рімана. В геометрії Рімана будь-які прямі перетинаються, оскільки це вірно для проективної площині, і таким чином, в ній немає паралельних прямих.

Одна з відмінностей геометрії Рімана від геометрії Евкліда і геометрії Лобачевського полягає в тому, що в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B» (в сферичної геометрії це поняття також відсутній). Дійсно, на пряму проективної площині Π {\ displaystyle \ Pi} відображається велике коло на сфері S {\ displaystyle S} , Причому дві діаметрально протилежні точки сфери A {\ displaystyle A} і A '{\ displaystyle A'} переходять в одну точку A * ∈ Π {\ displaystyle A _ {*} \ in \ Pi} . Аналогічно, точки B, B '{\ displaystyle B, B'} переходять в одну точку B * ∈ Π {\ displaystyle B _ {*} \ in \ Pi} і точки C, C '{\ displaystyle C, C'} переходять в одну точку C * ∈ Π {\ displaystyle C _ {*} \ in \ Pi} . Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка C * {\ displaystyle C _ {*}} лежить між A * {\ displaystyle A _ {*}} і B * {\ displaystyle B _ {*}} і що вона не лежить між ними (див. малюнок).

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрія. - М .: Наука, 1990..
• Александров П. С. Що таке неевклідова геометрія. - М .: УРСС, 2007.
• Олексіївський Д. В., Вінберг Е. Б., Солодовников А. С. Геометрія просторів постійної кривизни. В кн .: Підсумки науки і техніки. Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрямки. - М .: ВІНІТІ, 1988. - Т. 29. - С. 1-146.
• Берже М. Геометрія. / Пер. з франц. - М .: Світ, 1984. - Том II, частина V: Внутрішня геометрія сфери, гіперболічна геометрія, простір сфер.
• Єфімов Н. В. Вища геометрія. - 7-е вид. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 584 с. - ISBN 5-9221-0267-2 .
• Клейн Ф. Неевклидова геометрія. - Будь-яке видання.
• Степанов Н. Н. Сферична тригонометрія. - Л.-М., 1948.
• Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія. - М .: Физматлит 2009.